En regardant un peu ce qu'on a sur les devises, en particulier en ce qui concerne le trading sur l'eurodollar
voilà ce qu'on obtient selon www.strategies-options.com
jeudi 21 février 2013
Volatilité et spread sur l'EURUSD
Petite pause cause vacances et je m'aperçois que ça reste stable....glacé. On aura l'occasion de revenir sur l'utilisation des symétries de deltas vu la fois précédente bientôt.
En regardant un peu ce qu'on a sur les devises, en particulier en ce qui concerne le trading sur l'eurodollar
voilà ce qu'on obtient selon www.strategies-options.com
Au moins jusqu'à d'ici 2 mois, c'est le calme qui est anticipé.
En regardant un peu ce qu'on a sur les devises, en particulier en ce qui concerne le trading sur l'eurodollar
voilà ce qu'on obtient selon www.strategies-options.com
mardi 22 janvier 2013
Delta Symmetry
La réponse à cette question est très pratique et comme on dit, "A Tout Seigneur Tout Honneur".
J'ai repris l'article de Global Hedge qui s'intitutle "On Delta Symmetry, Gamma-Vega Parity : Ultimate Symmetry" écrit par Morgane TRAMASAYGUES .
Voici l'article, en anglais dans le texte :
After « Call Put Parity », « Call Put Symmetry », « SuperSymmetry »....now..... « Ultimate Symmetry ».
Here we are !
Ultimate Symmetry is a particular relationship for options with the same maturity that is really interesting from a trader’s point of view. Despite being derived in a world where implied volatility remains the same for every strike on a given expiry, it helps traders to find options that would naturally match their greeks in the real world.
I - A « Flat Vol’ » World
Assume that all strikes for a maturity T have the same implied volatility – a « Flat Vol’ World » ( It doesn’t mean that every maturity needs to have the same implied volatility, but every strike for each maturity has the same one).
If one set for that maturity T the Delta Neutral Straddle Strike as
KDelta Neutral Straddle = S . exp(( r - q + 0.5.σ²).T)
Where
S underlying spot
K strike price
r continuously compounded interest rate
q continuously compounded dividend rate
T expiry (in year(s))
σ implied volatility
(Which is the strike where Call and Put have deltas that exhibit the same absolute value, it’s also the strike where vega is maximum and then volga is nil (∂Vega /∂σ = 0 )).
Then,
For every Call struck at KCall with the same maturity T it exists a Put struck at KPut with maturity T that matches simultaneously the absolute values of delta, gamma and vega, and,
KPut = (KDelta Neutral Straddle )² / KCall
For that Strike We have,
Delta Symmetry : Δ Put = - Δ Call
The delta of a Call struck at K has the opposite value as the delta of a Put struck at (KDelta Neutral Straddle)²/K .
ΔC( S, K, r, q, σ, T ) = - ΔP( S, ( KDelta Neutral Straddle)²/K, r, q, σ, T )
Gamma Parity : Γ Put = Γ Call
The gamma of a Call struck at K has the same value as the gamma of a Put struck at (KDelta Neutral Straddle)²/K .
Γ C( S, K, r, q, σ, T ) = Γ P( S, ( KDelta Neutral Straddle)²/K, r, q, σ, T )
Vega Parity : νega Put = vega Call
The vega of a Call struck at K has the same value as the vega of a Put struck at (KDelta Neutral Straddle)²/K .
Vega C( S, K, r, q, σ, T ) = Vega P( S, ( KDelta Neutral Straddle)²/K, r, q, σ, T )
In a Black-Scholes world, if you’ve found for a given asset which is worth XXX USD, KDelta Neutral Straddle = 110 for a given maturity T,
→ You already know how to hedge the delta of a long position of 500 Calls struck at 179 with the same maturity by buying 500 Puts struck at KPut = (110)² / 179 = 67.59
The 67.59 Put and de 179 Call with the same maturity will have opposite deltas, the same gamma and the same vega.
Risk Reversal.
As far as you know that KDelta Neutral Straddle = 110 , you know how to build a Risk Reversal that is gamma neutral and vega neutral using for example a long 120 Call with the same maturity T, by selling a Put struck at KPut= (110)² / 120 = 100.83 with maturity T.
Vega Weighted Butterfly
If KDelta Neutral Straddle = 110 , you know how to build a Vega Weighted Butterfly using the 120 call with the same maturity T, and the Put struck at (110²)/120 = 100.83 with maturity T by selling 1 Straddle struck at KDelta Neutral Straddle = 110 and buying (Vega Call Delta Neutral Straddle / Vega Call 120 ) . Strangle (120 Call + 100.83 Put )
II - A Real World
In a flat vol’world, that would match (-)delta, gamma and vega. You won’t even have to care about ΔCall ΓCall and νega Call values, you already know that they will naturally match. There would be no need to price them.
Our world is not a flat BS Implied Volatility World, that’s a fact, but the relationship remains valid as an approximation. It provides a simple way to approximate the real solution. It may even provide tools to price for a given delta how far from the BS strike the market strike is, as a pricing tool for the skew. It provides also a different way to replicate knock out / knock in options using a risk reversal.
Derivations
Δ is the delta for the strike K
Γ is the gamma for the strike K
S underlying spot
K strike price
r continuously compounded interest rate
q continuously compounded dividend rate
T maturity (in year(s))
σ implied volatility
d1= ( ln(S/K) + (r-q + 0.5. σ²)T ) / σ√T
Delta Symmetry : Δ Put = - Δ Call
For KPut = (KDelta Neutral Straddle )² / KCall
We have
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S/(K²DeltaNeutralStraddle / KCall) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. KCall /(K²DeltaNeutralStraddle) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. KCall /( S . exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S.(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -2ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -2( r-q + 0.5.σ²).T + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -( r-q + 0.5.σ²).T) / σ√T
d1Put= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = - (ln(S / KCall) +( r-q + 0.5.σ²).T / σ√T) = -d1Call
d1Put= -d1Call hence -d1Put= d1Call
N(-d1Put) =N (d1Call )
Exp(- qT).N(-d1Put) = Exp(- qT).N (d1Call )
Then, -Δ Put = Δ Call
Gamma Parity : Γ Put = Γ Call
If d1Put= -d1Call
Then,
Since n(x) = 1/(√2π)exp(-x²) is an even function
n(-d1Put) = n (d1Call )
Exp(- qT). n(-d1Put) / ( S σ√T ) = Exp(- qT). n (d1Call ) / ( S σ√T )
And Γ Put = Γ Call
Vega Parity : νega Put = vega Call
Since vega = Γ . σ . S² . T
if Γ Put = Γ Call
Then, (σ . S² . T). Γ Put = (σ . S² . T). Γ Call
And , νega Put = vega Call
Références et pdf : On Delta Symmetry, Gamma-Vega Parity : Ultimate Symmetry
J'ai repris l'article de Global Hedge qui s'intitutle "On Delta Symmetry, Gamma-Vega Parity : Ultimate Symmetry" écrit par Morgane TRAMASAYGUES .
Voici l'article, en anglais dans le texte :
After « Call Put Parity », « Call Put Symmetry », « SuperSymmetry »....now..... « Ultimate Symmetry ».
Here we are !
Ultimate Symmetry is a particular relationship for options with the same maturity that is really interesting from a trader’s point of view. Despite being derived in a world where implied volatility remains the same for every strike on a given expiry, it helps traders to find options that would naturally match their greeks in the real world.
I - A « Flat Vol’ » World
Assume that all strikes for a maturity T have the same implied volatility – a « Flat Vol’ World » ( It doesn’t mean that every maturity needs to have the same implied volatility, but every strike for each maturity has the same one).
If one set for that maturity T the Delta Neutral Straddle Strike as
KDelta Neutral Straddle = S . exp(( r - q + 0.5.σ²).T)
Where
S underlying spot
K strike price
r continuously compounded interest rate
q continuously compounded dividend rate
T expiry (in year(s))
σ implied volatility
(Which is the strike where Call and Put have deltas that exhibit the same absolute value, it’s also the strike where vega is maximum and then volga is nil (∂Vega /∂σ = 0 )).
Then,
For every Call struck at KCall with the same maturity T it exists a Put struck at KPut with maturity T that matches simultaneously the absolute values of delta, gamma and vega, and,
KPut = (KDelta Neutral Straddle )² / KCall
For that Strike We have,
Delta Symmetry : Δ Put = - Δ Call
The delta of a Call struck at K has the opposite value as the delta of a Put struck at (KDelta Neutral Straddle)²/K .
ΔC( S, K, r, q, σ, T ) = - ΔP( S, ( KDelta Neutral Straddle)²/K, r, q, σ, T )
Gamma Parity : Γ Put = Γ Call
The gamma of a Call struck at K has the same value as the gamma of a Put struck at (KDelta Neutral Straddle)²/K .
Γ C( S, K, r, q, σ, T ) = Γ P( S, ( KDelta Neutral Straddle)²/K, r, q, σ, T )
Vega Parity : νega Put = vega Call
The vega of a Call struck at K has the same value as the vega of a Put struck at (KDelta Neutral Straddle)²/K .
Vega C( S, K, r, q, σ, T ) = Vega P( S, ( KDelta Neutral Straddle)²/K, r, q, σ, T )
In a Black-Scholes world, if you’ve found for a given asset which is worth XXX USD, KDelta Neutral Straddle = 110 for a given maturity T,
→ You already know how to hedge the delta of a long position of 500 Calls struck at 179 with the same maturity by buying 500 Puts struck at KPut = (110)² / 179 = 67.59
The 67.59 Put and de 179 Call with the same maturity will have opposite deltas, the same gamma and the same vega.
Risk Reversal.
As far as you know that KDelta Neutral Straddle = 110 , you know how to build a Risk Reversal that is gamma neutral and vega neutral using for example a long 120 Call with the same maturity T, by selling a Put struck at KPut= (110)² / 120 = 100.83 with maturity T.
Vega Weighted Butterfly
If KDelta Neutral Straddle = 110 , you know how to build a Vega Weighted Butterfly using the 120 call with the same maturity T, and the Put struck at (110²)/120 = 100.83 with maturity T by selling 1 Straddle struck at KDelta Neutral Straddle = 110 and buying (Vega Call Delta Neutral Straddle / Vega Call 120 ) . Strangle (120 Call + 100.83 Put )
II - A Real World
In a flat vol’world, that would match (-)delta, gamma and vega. You won’t even have to care about ΔCall ΓCall and νega Call values, you already know that they will naturally match. There would be no need to price them.
Our world is not a flat BS Implied Volatility World, that’s a fact, but the relationship remains valid as an approximation. It provides a simple way to approximate the real solution. It may even provide tools to price for a given delta how far from the BS strike the market strike is, as a pricing tool for the skew. It provides also a different way to replicate knock out / knock in options using a risk reversal.
Derivations
Δ is the delta for the strike K
Γ is the gamma for the strike K
S underlying spot
K strike price
r continuously compounded interest rate
q continuously compounded dividend rate
T maturity (in year(s))
σ implied volatility
d1= ( ln(S/K) + (r-q + 0.5. σ²)T ) / σ√T
Delta Symmetry : Δ Put = - Δ Call
For KPut = (KDelta Neutral Straddle )² / KCall
We have
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S/(K²DeltaNeutralStraddle / KCall) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. KCall /(K²DeltaNeutralStraddle) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(S. KCall /( S . exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S.(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)²) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -2ln(exp(( r-q + 0.5.σ²).T)) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -2( r-q + 0.5.σ²).T + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T
d1= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = (ln(KCall /(S) -( r-q + 0.5.σ²).T) / σ√T
d1Put= (ln(S/KPut) + (r-q + 0.5. σ²)T) / σ√T = - (ln(S / KCall) +( r-q + 0.5.σ²).T / σ√T) = -d1Call
d1Put= -d1Call hence -d1Put= d1Call
N(-d1Put) =N (d1Call )
Exp(- qT).N(-d1Put) = Exp(- qT).N (d1Call )
Then, -Δ Put = Δ Call
Gamma Parity : Γ Put = Γ Call
If d1Put= -d1Call
Then,
Since n(x) = 1/(√2π)exp(-x²) is an even function
n(-d1Put) = n (d1Call )
Exp(- qT). n(-d1Put) / ( S σ√T ) = Exp(- qT). n (d1Call ) / ( S σ√T )
And Γ Put = Γ Call
Vega Parity : νega Put = vega Call
Since vega = Γ . σ . S² . T
if Γ Put = Γ Call
Then, (σ . S² . T). Γ Put = (σ . S² . T). Γ Call
And , νega Put = vega Call
Références et pdf : On Delta Symmetry, Gamma-Vega Parity : Ultimate Symmetry
mercredi 9 janvier 2013
Question Delta Symmetry
Un petit quizz pour l'effet "Starter" début d'année. Ça permet de vous souhaiter une bonne année sans commencer le message par la sempiternelle phrase et c'est déjà une prouesse.
Petit Quizz de décrassage de cerveau : Question Delta Symmetry - si on imagine qu'on est dans un monde version Black & Scholes, comment connaissant le strike d'une option je peux trouver immédiatement le strike d'une autre qui matche le delta ? Posée différemment, si on vous donne le prix d'un call strike X, comment vous faites pour trouver le strike du put Y tel que le portefeuille call X + put Y est delta neutre ?
La réponse est ici
Petit Quizz de décrassage de cerveau : Question Delta Symmetry - si on imagine qu'on est dans un monde version Black & Scholes, comment connaissant le strike d'une option je peux trouver immédiatement le strike d'une autre qui matche le delta ? Posée différemment, si on vous donne le prix d'un call strike X, comment vous faites pour trouver le strike du put Y tel que le portefeuille call X + put Y est delta neutre ?
La réponse est ici
jeudi 20 décembre 2012
Le point sur les volatilités implicites sur le DJ EuroStoxx 50 au 20 Dec 2012
C'est marrant, des fois on se dit "avec tout ce qu'on entend, la fin de tout est proche". Même avec 2 ou 3 optimistes parmi les commentateurs, le travail de longue haleine pour nous expliquer que les effets de la crises - c'est maintenant ! - et qu'avec tous les mauvais remèdes, plus dure sera la chute.
D'un autre côté, on a le marché. Et lui, les commentaires, il les aime bien mais il s'en fout.
Alors quand on regarde un peu ce qu'il valorise ce marché, voilà ce qu'on a avec un future DEC 12 à 2655 :
Et ATMF , on a :
En un mois ( 20 Nov - 20 Dec ) (=> le dernier post ici ) la volatilité ATMF a baissé de 4%, faut attendre mars et juin pour avoir une baisse de 3% et 2%.
Le calme est là, c'est clair. Donc si fin du monde et/ou fin de la zone Euro etc... et bien on le prend plutôt bien !
Bonnes fêtes de fin d'année à tous !
D'un autre côté, on a le marché. Et lui, les commentaires, il les aime bien mais il s'en fout.
Alors quand on regarde un peu ce qu'il valorise ce marché, voilà ce qu'on a avec un future DEC 12 à 2655 :
Et ATMF , on a :
Le calme est là, c'est clair. Donc si fin du monde et/ou fin de la zone Euro etc... et bien on le prend plutôt bien !
Bonnes fêtes de fin d'année à tous !
mercredi 21 novembre 2012
Le point sur les volatilités implicites sur le DJ EuroStoxx 50 au 20 Nov 2012
On avait mis ça de côté depuis l'été tellement la volatilité sur les indices européens était soporifique, il fallait bien faire un point avant la fin de l'année sur ce sujet quand même.
En reprenant les volatilité par strike (prix d'exercice) et par maturité cela donne pour les échéances jusqu'à Juin 2013 :
On remarque bien les volatilités qui sont croissantes pour un strike donné en fonction de la maturité. Plus la maturité augmente, plus la volatilité implicite augmente.
Ce type de représentation est intéressant une fois qu'on connait les caractéristiques de chaque strike, mais pas avant. C'est pour cette raison que je les représentais en fonction de la moneyness et pas en fonction du strike. Les contrats futures sur lesquels sont "écrites" les options ne sont pas les mêmes pour toutes les maturités.
Si on recalcule comme au dessus la volatilité implicite ATMF (Strike = Forward), et le strike par maturité tel que le delta soit 50%, on voit bien qu'il peut y avoir des différences très importantes en fonction de l'échéance choisie. Entre Dec 12 et Jun 13, 50 points environ soit 2%.
En reprenant les volatilité par strike (prix d'exercice) et par maturité cela donne pour les échéances jusqu'à Juin 2013 :
On remarque bien les volatilités qui sont croissantes pour un strike donné en fonction de la maturité. Plus la maturité augmente, plus la volatilité implicite augmente.
Ce type de représentation est intéressant une fois qu'on connait les caractéristiques de chaque strike, mais pas avant. C'est pour cette raison que je les représentais en fonction de la moneyness et pas en fonction du strike. Les contrats futures sur lesquels sont "écrites" les options ne sont pas les mêmes pour toutes les maturités.
vendredi 24 août 2012
Petite hausse des volatilités implicites sur le DJ EUROSTOXX 50
C'est la fin des vacances.....pour tout le monde. On espère que ce sera la rentrée aussi pour les volatilités sur le DJ Eurostoxx50 qu'on puisse initier une bonne stratégie options.
Pour le moment ça reste douillet, même avec une petite hausse sur les échéances 2012, SEPT OCT NOV et DEC.
Les volatilités ATMF (le contrat Future à la monnaie) restent croissantes avec une différence d'un peu moins de 3 points à jouer sur le calendar spread.
Pour le moment ça reste douillet, même avec une petite hausse sur les échéances 2012, SEPT OCT NOV et DEC.
Les volatilités ATMF (le contrat Future à la monnaie) restent croissantes avec une différence d'un peu moins de 3 points à jouer sur le calendar spread.
mercredi 18 juillet 2012
Volatilité implicite en uptrend sur le DJ EUROSTOXX 50
C'est l'été et on peut finir par croire que tout le monde a posé ses vacances au même moment sur les marchés.
Après les vagues de baisse et les mises en garde sur les perspectives de la zone euro (et des entreprises de la zone euro), le calme transpire des volatilités des options sur l'indice européen de référence.
Si on enlève l'échéance la plus courte, on voit que sur Aout c'est la plage et les cocotiers.
Septembre ouvre un œil et c'est Décembre qui revient sur des niveaux de volatilité qui correspondent plus à ce que l'on a rencontré sur le premier semestre 2012.
Quand c'est les vacances, c'est les vacances !
Après les vagues de baisse et les mises en garde sur les perspectives de la zone euro (et des entreprises de la zone euro), le calme transpire des volatilités des options sur l'indice européen de référence.
Septembre ouvre un œil et c'est Décembre qui revient sur des niveaux de volatilité qui correspondent plus à ce que l'on a rencontré sur le premier semestre 2012.
Quand c'est les vacances, c'est les vacances !
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